Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a & x < 2 \\ x^{3} + a x^{2} + 5 & x \geq 2 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ , wenn sich $x$ von links $2$ nähert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen linksseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + a x - 3 a$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$lim_{x \to 2^{-}} 4 e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to 2^{-}} e^{x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Schritt 1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + lim_{x \to 2^{-}} a x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Schritt 1.7

Ziehe den Term $a$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 3 a$

Schritt 1.8

Berechne den Grenzwert von $3 a$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$4 e^{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Schritt 1.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a lim_{x \to 2^{-}} x - 3 a$

Schritt 1.9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$4 e^{2 - 1 \cdot 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Schritt 1.10

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 e^{2 - 2} + a \cdot 2 - 3 a$

Schritt 1.10.1.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$4 e^{0} + a \cdot 2 - 3 a$

Schritt 1.10.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 \cdot 1 + a \cdot 2 - 3 a$

Schritt 1.10.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + a \cdot 2 - 3 a$

Schritt 1.10.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 + 2 a - 3 a$

Schritt 1.10.2

Subtrahiere $3 a$ von $2 a$ .

$4 - a$

Schritt 2

Berechne $x^{3} + a x^{2} + 5$ bei $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

${(2)}^{3} + a {(2)}^{2} + 5$

Schritt 2.2

Berechne.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + a {(2)}^{2} + 5$

Schritt 2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 + a \cdot 4 + 5$

Schritt 2.2.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$8 + 4 a + 5$

Schritt 2.2.2

Addiere $8$ und $5$ .

$4 a + 13$

Schritt 3

Da die Grenze von $4 e^{x - 2} + a x - 3 a$ bei Annäherung von $x$ an $2$ von links nicht gleich dem Funktionswert bei $x = 2$ ist, ist die Funktion bei $x = 2$ nicht kontinuierlich.

Nicht stetig

Schritt 4