Analysis Beispiele

$\int (\frac{2}{\sqrt{x^{3}}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{2}{\sqrt{x^{3}}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 3.2

Bringe $x^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$2 \int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$2 \int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Schreibe $2 (- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C)$ als $2 (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$ um.

$2 (- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + C$