Analysis Beispiele

$y = \frac{\ln (x)}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 4

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

Schritt 8.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ heraus.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x \ln (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

Schritt 8.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{2 x} x$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \ln (x)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

Schritt 8.6

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

Schritt 8.8

Schreibe $- (x \ln (x) - 1)$ als $- 1 (x \ln (x) - 1)$ um.

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

Schritt 8.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$