Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 t)) \sin (2 t) d t$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \cos (2 t)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \sin (2 t) d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \cos (2 t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (2 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 2 t$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 t$ .

$- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 t) \cdot 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \sin (2 t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = \cos (2 t)$ ein.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{4})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 (2)})$

Schritt 1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 1.3.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = \cos (2 t)$ ein.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2})$

Schritt 1.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \cos (π)$

Schritt 1.5.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{upper} = - \cos (0)$

Schritt 1.5.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{0}^{- 1} (1 - u_{2}) (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 3

Multipliziere $(1 - u_{2}) (- \frac{1}{2})$ .

$\int_{0}^{- 1} 1 (- \frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - 1 (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$\int_{0}^{- 1} - (\frac{1}{2}) - u_{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + 1 u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $1$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 4.5

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} + \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{- 1} - \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \int_{0}^{- 1} \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} u_{2} d u_{2}$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{2} u_{2}]_{0}^{- 1} + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- \frac{1}{2} u_{2}$ bei $- 1$ und $0$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot - 1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}]_{0}^{- 1}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ bei $- 1$ und $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.3.4

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.3.5

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Schritt 9.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Schritt 9.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}))$

Schritt 9.3.9

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Schritt 9.3.10

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.11

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.12

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.13

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.14.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 + 1}{4}$

Schritt 9.3.16

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{4}$

Dezimalform:

$0.75$