Analysis Beispiele

$(x^{2} + 1) \sin (3 x - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = \sin (3 x - 1)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\sin (3 x - 1)] + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$(x^{2} + 1) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) (\cos (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) (3 + 0) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) \cdot 3 + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $(x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)$ .

$3 \cdot ((x^{2} + 1) \cos (3 x - 1)) + \sin (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x + 0)$

Schritt 3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 (x^{2} + 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 1) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 x^{2} + 3) \cos (3 x - 1) + \sin (3 x - 1) (2 x)$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$\cos (3 x - 1) (3 x^{2} + 3) + 2 x \sin (3 x - 1)$