Analysis Beispiele

$π \int_{0}^{6} {(- x + 6)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = - x + 6$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - x + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [- x + 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 1 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x + 6$ ein.

$u_{lower} = - 0 + 6$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $6$ .

$u_{lower} = 6$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x + 6$ ein.

$u_{upper} = - 1 \cdot 6 + 6$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$u_{upper} = - 6 + 6$

Schritt 1.5.2

Addiere $- 6$ und $6$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$π \int_{6}^{0} - u^{2} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$π (- \int_{6}^{0} u^{2} d u)$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$π (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{0}))$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$π (- (\frac{u^{3}}{3}]_{6}^{0}))$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $0$ und $6$ .

$π (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{6^{3}}{3}))$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$π (- (\frac{0}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$π (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{6^{3}}{3}))$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (- (\frac{0}{1} - \frac{6^{3}}{3}))$

Schritt 5.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$π (- (0 - \frac{6^{3}}{3}))$

Schritt 5.2.3

Potenziere $6$ mit $3$ .

$π (- (0 - \frac{216}{3}))$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 5.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3}))$

Schritt 5.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 (1)}))$

Schritt 5.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π (- (0 - \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1}))$

Schritt 5.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$π (- (0 - \frac{72}{1}))$

Schritt 5.2.4.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$π (- (0 - 1 \cdot 72))$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $72$ .

$π (- (0 - 72))$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $72$ von $0$ .

$π (- - 72)$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 72$ .

$π \cdot 72$

Schritt 5.2.8

Bringe $72$ auf die linke Seite von $π$ .

$72 π$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$72 π$

Dezimalform:

$226.19467105 \dots$

Schritt 7