Analysis Beispiele

$\int \frac{44}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Schritt 1

Da $44$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $44$ aus dem Integral.

$44 \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 16}} d x$

Schritt 2

Sei $x = 4 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 4 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(4 \tan (t))}^{2} + 16}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $4 \tan (t)$ an.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{4^{2} \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \tan^{2} (t) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16 \tan^{2} (t) + 16$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $16 \tan^{2} (t)$ heraus.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (\tan^{2} (t)) + 16 (1)$ heraus.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 (\tan^{2} (t) + 1)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{16 \sec^{2} (t)}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.1.4

Schreibe $16 \sec^{2} (t)$ als ${(4 \sec (t))}^{2}$ um.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(4 \sec (t))}^{2}}} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 \sec (t)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $4 \sec (t)$ aus ${(4 \tan (t))}^{2} (4 \sec (t))$ heraus.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $4 \sec (t)$ aus $4 \sec^{2} (t)$ heraus.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) ({(4 \tan (t))}^{2})} (4 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$44 \int \frac{1}{4 \sec (t) {(4 \tan (t))}^{2}} (4 \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 3.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$44 \int \frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{{(4 \tan (t))}^{2}}$ und $\sec (t)$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 \tan (t))}^{2}} d t$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan (t)$ heraus.

$44 \int \frac{\sec (t)}{{(4 (\tan (t)))}^{2}} d t$

Schritt 3.2.3.2

Wende die Produktregel auf $4 (\tan (t))$ an.

$44 \int \frac{\sec (t)}{4^{2} \tan^{2} (t)} d t$

Schritt 3.2.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$44 \int \frac{\sec (t)}{16 \tan^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Da $\frac{1}{16}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{16}$ aus dem Integral.

$44 (\frac{1}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $44$ .

$\frac{44}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $44$ und $16$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$\frac{4 (11)}{16} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\sec (x)$ als $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ um.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Schritt 6.2

Wende die Kehrwertfunktion an.

$\frac{11}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 6.3.2

Kombinieren.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $\csc (t)$ mit $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Schritt 6.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cot (t)}$ an.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 6.3.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 6.3.5

Kombiniere $\cot (t)$ und $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 6.3.6

Vereinfache den Ausdruck $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Schritt 6.3.6.2

Faktorisiere $\cot (t)$ aus ${\cot (t)}^{2}$ heraus.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 6.3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Schritt 6.3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Schritt 6.3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{11}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \csc (t)$ gleich $\csc (t) \cot (t)$ ist, ist das Integral von $\csc (t) \cot (t)$ gleich $- \csc (t)$ .

$\frac{11}{4} (- \csc (t) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{11}{4} (- \csc (t)) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{11}{4}$ und $\csc (t)$ .

$- \frac{11 \csc (t)}{4} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$- \frac{11 \csc (\arctan (\frac{x}{4}))}{4} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{4})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{4})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{4})$ verläuft. Folglich ist $\csc (\arctan (\frac{x}{4}))$ $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}$ .

$- \frac{11 \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}}{\frac{x}{4}}}{4} + C$

Schritt 10.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4^{2}}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{11 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{16 + x^{2}}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.7

Schreibe $\frac{16 + x^{2}}{16}$ als ${(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})$ um.

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Schritt 10.1.7.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $16 + x^{2}$ heraus.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{16}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.7.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $4^{2}$ aus $16$ heraus.

$- \frac{11 (\sqrt{\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.7.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (16 + x^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ um.

$- \frac{11 (\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (16 + x^{2})} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{11 (\frac{1}{4} \sqrt{16 + x^{2}} \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.9

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\sqrt{16 + x^{2}}$ .

$- \frac{11 (\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{4} \cdot \frac{4}{x})}{4} + C$

Schritt 10.1.10

Kombinieren.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Schritt 10.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}} \cdot 4}{4 x}}{4} + C$

Schritt 10.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{11 \frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Schritt 10.2

Kombiniere $11$ und $\frac{\sqrt{16 + x^{2}}}{x}$ .

$- \frac{\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

Schritt 10.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Schritt 10.4

Kombinieren.

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

Schritt 10.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{11 \sqrt{16 + x^{2}}}{4 x} + C$