Analysis Beispiele

$\int (- 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int - 3 \csc^{2} (x) + 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 3 \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- 3 \int \csc^{2} (x) d x + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Schritt 4

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$- 3 (- \cot (x) + C) + \int 4 \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Schritt 6

Sei $u_{2} = \csc (2 x)$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = \csc (2 x)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Schritt 6.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 6.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere.

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Schritt 6.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Schritt 6.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.3.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Schritt 6.1.3.4.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ um.

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$- 3 (- \cot (x) + C) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $u_{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \cot (x) + 4 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$3 \cot (x) - 4 \frac{u_{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{u_{2}}{2}$ .

$3 \cot (x) + \frac{- 4 u_{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 9.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 u_{2}$ heraus.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2} + C$

Schritt 9.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 9.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cot (x) + \frac{2 (- 2 u_{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 9.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \cot (x) + \frac{- 2 u_{2}}{1} + C$

Schritt 9.2.4.2.4

Dividiere $- 2 u_{2}$ durch $1$ .

$3 \cot (x) - 2 u_{2} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\csc (2 x)$ .

$3 \cot (x) - 2 \csc (2 x) + C$