Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{5} - \frac{1}{3} x^{- 3} - 6 x^{2} - \frac{1}{5} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{1}{2} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{2}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{- 5}{2}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{- 3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} - \frac{1}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{- 4}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3.6

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{3}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{5} x$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5} \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{1}{x^{4}} - 12 x - \frac{1}{5}$

Schritt 1.6

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{5 x^{4}}{2} - 12 x + \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5 x^{4}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5 x^{4}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{5}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{5}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 5}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$\frac{- 20}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{- 20}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 20 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $2$ .

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 20 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 10 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 10 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.2.7.2.4

Dividiere $- 10 x^{3}$ durch $1$ .

$- 10 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 10 x^{3} - 12 - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 10 x^{3} - 12 - x^{- 8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.6

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 (x^{3} x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{3 - 8} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.4.6.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5}]$

Schritt 2.5

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{5}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 x^{- 5} + 0$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 - 4 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.6.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- 10 x^{3} - 12 + \frac{- 4}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}} + 0$

Schritt 2.6.2.3

Addiere $- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$ und $0$ .

$- 10 x^{3} - 12 - \frac{4}{x^{5}}$

Schritt 2.6.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$ .

$- 10 x^{3} - \frac{4}{x^{5}} - 12$