Analysis Beispiele

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Schritt 1

Ermittle den Definitionsbereich, um festzustellen, ob der Ausdruck stetig ist.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\sec (\frac{π x}{4})$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1.1

Vereinfache $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.2.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 1.2.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 1.2.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 1.2.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.4.1

Faktorisiere $π$ aus $π n$ heraus.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Schritt 1.2.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Schritt 1.2.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 + 4 n$

Schritt 1.2.3

Stelle $2$ und $4 n$ um.

$x = 4 n + 2$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4 n + 2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 4 n + 2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\sec (\frac{π x}{4})$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3