Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 x^{4} + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{4} + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (2 x^{4} + 3) x^{- 2} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(2 x^{4} + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x^{4} x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 5

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{4}) + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{- 2 + 4} + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 5.3

Addiere $- 2$ und $4$ .

$\int 2 x^{2} + 3 x^{- 2} d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int x^{2} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Schritt 9

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 (- x^{- 1}) + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{2 x^{4} + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} - 3 x^{- 1} + C$