Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 2 x^{3}$ . Dann ist $d u = 6 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 2 x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 2 (3 x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$0 + 6 x^{2}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $6 x^{2}$ .

$6 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x^{3}$ ein.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + 2 x^{3}$ ein.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{3} u^{5} \frac{1}{6} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{5}$ und $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{5}}{6} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{3}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{6} u^{6}$ bei $3$ und $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.2

Potenziere $3$ mit $6$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $729$ .

$\frac{1}{6} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $729$ und $6$ .

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$\frac{1}{6} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

Schritt 5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Um $\frac{243}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{243}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

Schritt 5.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

Schritt 5.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.4.1

Mutltipliziere $243$ mit $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

Schritt 5.5.4.2

Subtrahiere $1$ von $729$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{728}{6}$

Schritt 5.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $728$ und $6$ .

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Schritt 5.5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $728$ heraus.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

Schritt 5.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{364}{3}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{6 \cdot 3}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{364}{18}$

Schritt 5.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $364$ und $18$ .

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Schritt 5.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $364$ heraus.

$\frac{2 (182)}{18}$

Schritt 5.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{182}{9}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{182}{9}$

Dezimalform:

$20.\overline{2}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$20 \frac{2}{9}$