Analysis Beispiele

$y = 10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 \cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ .

$10 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$10 (- \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 (\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})])$

Schritt 1.3.2

Da $\frac{2 π}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})$ nach $x$ gleich $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$ .

$- 10 \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) (\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}])$

Schritt 1.3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.3.1

Kombiniere $\frac{2 π}{3}$ und $- 10$ .

$\frac{2 π \cdot - 10}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $2$ .

$\frac{- 20 π}{3} \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4})) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Schritt 1.3.3.3

Kombiniere $\frac{- 20 π}{3}$ und $\sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))$ .

$\frac{- 20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Schritt 1.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{4}]$

Schritt 1.3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}]$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}])$

Schritt 1.3.6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} (1 + 0)$

Schritt 1.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.7.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3} \cdot 1$

Schritt 1.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} (x + \frac{1}{4}))}{3}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $\frac{2 π}{3}$ und $x$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4})}{3}$

Schritt 1.4.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)})}{3}$

Schritt 1.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2})}{3}$

Schritt 1.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2})}{3}$

Schritt 1.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{3 \cdot 2})}{3}$

Schritt 1.4.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{20 π}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{20 π}{3} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{20 π}{3} \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}))$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ und $\frac{20 π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) (20 π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.2

Bringe $20$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cdot (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2 π x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{2 π x}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{2 π}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 π x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2 π}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{π}{6}))$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{π}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{6}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot (\frac{2 π}{3} + 0)$

Schritt 2.3.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.8.1

Addiere $\frac{2 π}{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 π (20 \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.3.8.3

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π (\cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) π)}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.5

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 (π π) \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{40 π^{1 + 1} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3 \cdot 3}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{3} = 0$

Schritt 4

Setze den Zähler gleich Null.

$20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 5

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ durch $20 π$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$ durch $20 π$ .

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{20 π} = \frac{0}{20 π}$

Schritt 5.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{20 π}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{20 π}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $20$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Faktorisiere $20$ aus $0$ heraus.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 π}$

Schritt 5.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.1.2.1

Faktorisiere $20$ aus $20 π$ heraus.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 (0)}{20 (π)}$

Schritt 5.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{20 \cdot 0}{20 π}$

Schritt 5.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Schritt 5.1.3.2

Dividiere $0$ durch $π$ .

$\sin (\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 5.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = \arcsin (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 π x}{3} = - \frac{π}{6}$

Schritt 5.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Schritt 5.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

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Schritt 5.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Schritt 5.6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Schritt 5.6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 5.6.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π x$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Schritt 5.6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Schritt 5.6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2 π} (- \frac{π}{6})$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.6.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{6}$

Schritt 5.6.2.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 (2)}$

Schritt 5.6.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.6.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 5.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.6.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{- π}{2}$

Schritt 5.6.2.1.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Schritt 5.6.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot - 1}{2}$

Schritt 5.6.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Schritt 5.6.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{- 1}{2}$ .

$x = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.6.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.6.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.7

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π - 0$

Schritt 5.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = π$

Schritt 5.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.8.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{6}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 π x}{3} = π - \frac{π}{6}$

Schritt 5.8.2.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.8.2.3

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π x}{3} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.2.5.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 5.8.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$\frac{2 π x}{3} = \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2 π}$ .

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.8.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.4.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3}$ .

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Schritt 5.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.8.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2 π} \cdot \frac{2 π x}{3} = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.8.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.8.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 π$ .

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Schritt 5.8.4.1.1.2.1

Faktorisiere $2 π$ aus $2 π x$ heraus.

$\frac{1}{2 π} (2 π (x)) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.8.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 π} (2 π x) = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.8.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$

Schritt 5.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 5.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.8.4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 (2)}$

Schritt 5.8.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{2 π} \cdot \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.8.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 5.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 5.8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Schritt 5.8.4.2.1.2.2

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Schritt 5.8.4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π \cdot 5}{2}$

Schritt 5.8.4.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2}$

Schritt 5.8.4.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.8.4.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 5.9

Die Lösung der Gleichung $\frac{2 π x}{3} + \frac{π}{6} = 0$ .

$x = - \frac{1}{4}, \frac{5}{4}$

Schritt 6

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (- \frac{1}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- 2 π \frac{1}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.1.3

Kombiniere $\frac{- 2}{4}$ und $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{- 2 π}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{- π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- \frac{π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (- \frac{π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{- π + π}{6})}{9}$

Schritt 7.3.3

Addiere $- π$ und $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{0}{6})}{9}$

Schritt 7.3.4

Dividiere $0$ durch $6$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (0)}{9}$

Schritt 7.3.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot 1}{9}$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $40$ mit $1$ .

$- \frac{40 π^{2}}{9}$

Schritt 8

$x = - \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{1}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 9

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{1}{4}$ .

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((- \frac{1}{4}) + \frac{1}{4}))$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{- 1 + 1}{4})$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{4})$

Schritt 9.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{0}{2 (2)})$

Schritt 9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{0}{2 \cdot 2})$

Schritt 9.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{0}{2})$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{0}{2}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 0}{3 \cdot 2})$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.5.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{3 \cdot 2})$

Schritt 9.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (\frac{0}{6})$

Schritt 9.2.5.3

Dividiere $0$ durch $6$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cos (0)$

Schritt 9.2.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10 \cdot 1$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Schritt 9.2.8

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$y = 10$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{2 π (\frac{5}{4})}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2}{4} π}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{5 \cdot 2}{4}$ und $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 \cdot 2 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{10 π}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache den Ausdruck $\frac{10 π}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 π$ heraus.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{4}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 (2)}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{2 (5 π)}{2 \cdot 2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{\frac{5 π}{2}}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.3.1.2

Multipliziere $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{2}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{π}{6})}{9}$

Schritt 11.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{5 π + π}{6})}{9}$

Schritt 11.3.3

Addiere $5 π$ und $π$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Schritt 11.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{40 π^{2} \cos (\frac{6 π}{6})}{9}$

Schritt 11.3.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cos (π)}{9}$

Schritt 11.3.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{40 π^{2} (- \cos (0))}{9}$

Schritt 11.3.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{40 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{9}$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{40 π^{2} \cdot - 1}{9}$

Schritt 11.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $40$ .

$- \frac{- 40 π^{2}}{9}$

Schritt 11.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{40 π^{2}}{9}$

Schritt 11.5

Multipliziere $- - \frac{40 π^{2}}{9}$ .

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Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{40 π^{2}}{9}$

Schritt 11.5.2

Mutltipliziere $\frac{40 π^{2}}{9}$ mit $1$ .

$\frac{40 π^{2}}{9}$

Schritt 12

$x = \frac{5}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5}{4}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot ((\frac{5}{4}) + \frac{1}{4}))$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{5 + 1}{4})$

Schritt 13.2.2

Addiere $5$ und $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Schritt 13.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{4})$

Schritt 13.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{6}{2 (2)})$

Schritt 13.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{2 \cdot 2})$

Schritt 13.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{6}{2})$

Schritt 13.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 (2)}{2})$

Schritt 13.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π}{3} \cdot \frac{3 \cdot 2}{2})$

Schritt 13.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 13.2.5

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Schritt 13.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (\frac{π \cdot 2}{2})$

Schritt 13.2.6.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cos (π)$

Schritt 13.2.7

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- \cos (0))$

Schritt 13.2.8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 13.2.9

Multipliziere $10 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot - 1$

Schritt 13.2.9.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5}{4}) = - 10$

Schritt 13.2.10

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$y = - 10$

Schritt 14

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 10 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot (x + \frac{1}{4}))$ .

$(- \frac{1}{4}, 10)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5}{4}, - 10)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15