Analysis Beispiele

$\int {(\frac{8 + r}{r})}^{2} d r$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8 + r}{r}$ an.

$\int \frac{{(8 + r)}^{2}}{r^{2}} d r$

Schritt 1.2

Bringe $r^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(8 + r)}^{2} {(r^{2})}^{- 1} d r$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(8 + r)}^{2} r^{2 \cdot - 1} d r$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int {(8 + r)}^{2} r^{- 2} d r$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 8 + r$ . Dann ist $d u_{1} = d r$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 8 + r$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $8 + r$ .

$\frac{d}{d r} [8 + r]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 + r$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{d}{d r} [8] + \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 2.1.3

Da $8$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int {u_{1}}^{2} {(u_{1} - 8)}^{- 2} d u_{1}$

Schritt 3

Sei $u_{2} = u_{1} - 8$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{2} = u_{1} - 8$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $u_{1} - 8$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 8]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} - 8$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 8]$

Schritt 3.1.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int {(u_{2} + 8)}^{2} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 4

Sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\int {(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2}$ und ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Schritt 5.3

Bringe ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Schritt 5.4

Schreibe ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ als $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ um.

$\int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 7.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Schritt 7.3

Bringe ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Schritt 7.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Schritt 7.4.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Schritt 7.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Schritt 7.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe ${({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)}^{2}$ als $({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)$ um.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8) + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + (8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 8 \cdot 8) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.8

Stelle ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ und $8$ um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.13

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.14

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.16

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.18

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.21

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.22.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.22.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.22.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.22.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.22.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.22.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.23

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.25

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 8.26.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.26.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 \cdot 8 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.27

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 8 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.28

Addiere $8 {u_{3}}^{- 1}$ und $8 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 8.29

Bewege ${u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{3}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int 16 {u_{3}}^{- 1} + 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int 16 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Schritt 11

Da $16$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (16 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Schritt 12

Das Integral von ${u_{3}}^{- 1}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int 64 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Schritt 13

Da $64$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $64$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3})$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (16 (\ln (| u_{3} |) + C) + 64 (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 16

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (16 \ln (| u_{3} |) - \frac{128}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} + 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {u_{2}}^{2} |) - \frac{128}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} - 8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(u_{1} - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(u_{1} - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 17.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $8 + r$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 \ln (| {(8 + r - 8)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 18.1.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| {(r + 0)}^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.1.2

Addiere $r$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.1.3

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.1.4

Addiere $r$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(8 + r - 8)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.1.5

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {({(r + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.1.6

Addiere $r$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (| r^{2} |) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{{(r^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 18.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r^{1}} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.2.2.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 {(r^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 18.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(r^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 18.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Schritt 18.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{2 (\frac{1}{2})}) + C$

Schritt 18.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r^{1}) + C$

Schritt 18.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2}) - \frac{128}{r} + 2 r) + C$

Schritt 18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (16 \ln (r^{2})) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4

Vereinfache.

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Schritt 18.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $16 \ln (r^{2})$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (8 \ln (r^{2}))) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{128}{r}) + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{128}{r}$ in den Zähler.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 128}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 128$ heraus.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 64)}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 r$ heraus.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 (r)) + C$

Schritt 18.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + \frac{1}{2} (2 r) + C$

Schritt 18.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$8 \ln (r^{2}) + \frac{- 64}{r} + r + C$

Schritt 18.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 \ln (r^{2}) - \frac{64}{r} + r + C$