Analysis Beispiele

$e^{x y} = e^{4 x} - e^{5 y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (e^{x y}) = \frac{d}{d y} (e^{4 x} - e^{5 y})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{x y} (x + y x')$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{4 x} - e^{5 y}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{4 x}] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{4 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Schritt 3.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{4 x} (4 x') + \frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- e^{5 y}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- e^{5 y}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$ .

$e^{4 x} (4 x') - \frac{d}{d y} [e^{5 y}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 5 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [5 y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [5 y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 y$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \frac{d}{d y} [5 y])$

Schritt 3.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} (5 \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$e^{4 x} (4 x') - (e^{5 y} \cdot 5)$

Schritt 3.3.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{5 y}$ .

$e^{4 x} (4 x') - (5 \cdot e^{5 y})$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$e^{4 x} (4 x') - 5 e^{5 y}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ um.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $4 e^{4 x} x' - 5 e^{5 y}$ um.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = 4 x' e^{4 x} - 5 e^{5 y}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $4 x' e^{4 x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $x e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $x'$ aus $y x' e^{x y} - 4 x' e^{4 x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Faktorisiere $x'$ aus $y x' e^{x y}$ heraus.

$x' (y e^{x y}) - 4 x' e^{4 x} = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 4 x' e^{4 x}$ heraus.

$x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (y e^{x y}) + x' (- 4 e^{4 x})$ heraus.

$x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ durch $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x}) = - 5 e^{5 y} - x e^{x y}$ durch $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y e^{x y} - 4 e^{4 x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (y e^{x y} - 4 e^{4 x})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 5 e^{5 y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- 5 e^{5 y} - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 e^{5 y}$ heraus.

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x e^{x y}$ heraus.

$x' = \frac{- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 e^{5 y}) - (x e^{x y})$ heraus.

$x' = \frac{- (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.5.1

Schreibe $- (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ als $- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})$ um.

$x' = \frac{- 1 (5 e^{5 y} + x e^{x y})}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 5.6.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{5 e^{5 y} + x e^{x y}}{y e^{x y} - 4 e^{4 x}}$