Analysis Beispiele

$- x^{3} + x + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 3 x^{2} + 1 - x^{- 2}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x^{2} + 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + 1$