Analysis Beispiele

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to π} 2 x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} 6 x π + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Term $6 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + lim_{x \to π} 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $4 π^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to π} x)}^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π lim_{x \to π} x + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{2 π^{2} - 1 \cdot 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 π π + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.2

Multipliziere $- 6 π π$ .

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Schritt 1.1.2.7.1.2.1

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.2.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 (π^{1} π^{1}) + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{1 + 1} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 π^{2} - 6 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Subtrahiere $6 π^{2}$ von $2 π^{2}$ .

$\frac{- 4 π^{2} + 4 π^{2}}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.2.7.3

Addiere $- 4 π^{2}$ und $4 π^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to π} x^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - lim_{x \to π} π^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $π^{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{x \to π} x)}^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{0}{π^{2} - π^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Subtrahiere $π^{2}$ von $π^{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to π} \frac{2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}}{x^{2} - π^{2}} = lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 6 x π + 4 π^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 6 x π] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x π]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 6 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x π$ nach $x$ gleich $- 6 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + \frac{d}{d x} [4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Da $4 π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 π^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $4 x - 6 π$ und $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2} - π^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - π^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + \frac{d}{d x} [- π^{2}]}$

Schritt 1.3.9

Da $- π^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to π} \frac{4 x - 6 π}{2 x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 6 π$ und $2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) - 6 π}{2 x}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 π$ heraus.

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x) + 2 (- 3 π)}{2 x}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 3 π)$ heraus.

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

Schritt 1.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 (x)}$

Schritt 1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to π} \frac{2 (2 x - 3 π)}{2 x}$

Schritt 1.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to π} \frac{2 x - 3 π}{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $π$ annähert.

$\frac{lim_{x \to π} 2 x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to π} x - lim_{x \to π} 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $3 π$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $π$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to π} x - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $π$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{2 π - 3 π}{lim_{x \to π} x}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $π$ für $x$ .

$\frac{2 π - 3 π}{π}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $3 π$ von $2 π$ .

$\frac{- π}{π}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- π}{π}$

Schritt 4.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$