Analysis Beispiele

$\int \frac{\sec^{2} (8 x)}{\tan (8 x) - 6} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Dann ist $d u_{2} = 8 \sec^{2} (8 x) d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u_{2} = \sec^{2} (8 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = \tan (8 x) - 6$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x) - 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (8 x) - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan (8 x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $8 x$ .

$\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sec^{2} (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\sec^{2} (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.3.5

Bringe $8$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (8 x)$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x) + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 \sec^{2} (8 x)$ und $0$ .

$8 \sec^{2} (8 x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{8} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 8} d u_{2}$

Schritt 2.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{8 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{8} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

$\frac{1}{8} \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\tan (8 x) - 6$ .

$\frac{1}{8} \ln (| \tan (8 x) - 6 |) + C$