Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + x^{4} - \frac{3}{20} x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.2.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- x + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- \frac{3}{20}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{20} x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3}{20} (5 x^{4})$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 5 (\frac{3}{20}) x^{4}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{20}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4}$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15}{20} x^{4}$

Schritt 1.4.6

Kombiniere $\frac{- 15}{20}$ und $x^{4}$ .

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 15 x^{4}}{20}$

Schritt 1.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $20$ .

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Schritt 1.4.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15 x^{4}$ heraus.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{20}$

Schritt 1.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)}$

Schritt 1.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4}$

Schritt 1.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \frac{- 3 x^{4}}{4}$

Schritt 1.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x + 3 x^{2} + 4 x^{3} - \frac{3 x^{4}}{4}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{4}}{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{- 12}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.2.7.2.4

Dividiere $- 3 x^{3}$ durch $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$ .

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x - 1$