Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to - 1} \tan (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{4 \tan (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{4 \tan (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.1.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{4 \tan (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.3.1.2

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 \tan (- 2 - 2 \cdot - 1)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 \tan (- 2 + 2)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.3.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\frac{4 \tan (0)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + x}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.3.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.3.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} + lim_{x \to - 1} x}$

Schritt 1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{e^{- 1 + 1} - 1}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.6.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1}$

Schritt 1.3.6.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.6.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \tan (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \tan (- 2 - 2 x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\tan (- 2 - 2 x)]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = - 2 - 2 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.4

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \sec^{2} (- 2 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} + x]}$

Schritt 3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x + 1} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

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Schritt 3.13.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.13.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.13.6

Mutltipliziere $e^{x + 1}$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 8 \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 8 lim_{x \to - 1} \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 x)}{e^{x + 1} + 1}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- 8 \frac{lim_{x \to - 1} \sec^{2} (- 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (- 2 - 2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 8 \frac{{(lim_{x \to - 1} \sec (- 2 - 2 x))}^{2}}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$- 8 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + 1}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 1} x)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{lim_{x \to - 1} x + 1} + 1}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Schritt 17.1.1.2

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 17.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 - 2 \cdot - 1)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Schritt 17.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (- 2 + 2)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Schritt 17.1.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$- 8 \frac{\sec^{2} (0)}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Schritt 17.1.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$- 8 \frac{1^{2}}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Schritt 17.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 8 \frac{1}{e^{- 1 + 1} + 1}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- 8 \frac{1}{e^{0} + 1}$

Schritt 17.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- 8 \frac{1}{1 + 1}$

Schritt 17.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$- 8 (\frac{1}{2})$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$2 (- 4) \frac{1}{2}$

Schritt 17.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 4 \frac{1}{2}$

Schritt 17.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4$