Analysis Beispiele

$\frac{9}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$9 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Schritt 2

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$9 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$9 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$9 \int u^{- 2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$9 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $9 (- u^{- 1} + C)$ als $9 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$9 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 9 \frac{1}{u} + C$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 9}{u} + C$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{u} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$- \frac{9}{x + 2} + C$