Analysis Beispiele

$4 x^{2} y^{7} - 2 x = x^{5} + 4 y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (4 x^{2} y^{7} - 2 x) = \frac{d}{d y} (x^{5} + 4 y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} y^{7} - 2 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [4 x^{2} y^{7}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2} y^{7}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{7}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x^{2}$ und $g (y) = y^{7}$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{7}] + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$4 (x^{2} (7 y^{6}) + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$4 (7 \cdot x^{2} y^{6} + y^{7} (2 x x')) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{7}$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$4 (7 x^{2} y^{6} + 2 y^{7} x x') - 2 x'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (7 x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$28 (x^{2} y^{6}) + 4 (2 y^{7} x x') - 2 x'$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$28 x^{2} y^{6} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + 4 y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{5}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [4 y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{3}$ nach $y$ gleich $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$5 x^{4} x' + 4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} x' + 4 (3 y^{2})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$5 x^{4} x' + 12 y^{2}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' = 12 y^{2} + 5 x^{4} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5 x^{4} x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$28 y^{6} x^{2} + 8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $28 y^{6} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $8 y^{7} x x' - 2 x' - 5 x^{4} x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $8 y^{7} x x'$ heraus.

$x' (8 y^{7} x) - 2 x' - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 2 x'$ heraus.

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 - 5 x^{4} x' = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $- 5 x^{4} x'$ heraus.

$x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2 + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (8 y^{7} x) + x' \cdot - 2$ heraus.

$x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (8 y^{7} x - 2) + x' (- 5 x^{4})$ heraus.

$x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ durch $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}) = 12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ durch $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{12 y^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}} + \frac{- 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $4 y^{2}$ aus $12 y^{2} - 28 y^{6} x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.3.2.1

Faktorisiere $4 y^{2}$ aus $12 y^{2}$ heraus.

$x' = \frac{4 y^{2} (3) - 28 y^{6} x^{2}}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $4 y^{2}$ aus $- 28 y^{6} x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3.2.3

Faktorisiere $4 y^{2}$ aus $4 y^{2} (3) + 4 y^{2} (- 7 y^{4} x^{2})$ heraus.

$x' = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{4 y^{2} (3 - 7 y^{4} x^{2})}{8 y^{7} x - 2 - 5 x^{4}}$