Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \sec^{2} (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sec^{2} (x)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (x) d x$

Schritt 2

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Berechne $x \tan (x)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - (\ln (| \sec (x) |)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Schritt 3.1.2

Berechne $\ln (| \sec (x) |)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$(\frac{π}{4} \tan (\frac{π}{4})) + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Kombiniere $\frac{π}{4}$ und $\tan (\frac{π}{4})$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 \tan (0) - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\tan (0)$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + 0 - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4}$ und $0$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) |))$

Schritt 3.1.3.4

Um $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 3.1.3.5

Kombiniere $- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4})}{4} + \frac{- (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Schritt 3.1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |)) \cdot 4}{4}$

Schritt 3.1.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{π \tan (\frac{π}{4}) - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Schritt 3.2.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{4})$ ist $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| \sec (0) |))}{4}$

Schritt 3.2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{π \cdot 1 - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$\frac{π - 4 (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Schritt 3.2.5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.3.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{| \sqrt{2} |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.1.4

$\sqrt{2}$ ist ungefähr $1.41421356$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{| 1 |})}{4}$

Schritt 3.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\frac{\sqrt{2}}{1})}{4}$

Schritt 3.3.3

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π - 4 \ln (\sqrt{2})}{4}$

Dezimalform:

$0.43882457 \dots$