Analysis Beispiele

$4 y^{2} + 2 = 3 x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + 2) = \frac{d}{d x} (3 x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 y y' + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $8 y y'$ und $0$ .

$8 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$8 y y' = 6 x$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $8 y y' = 6 x$ durch $8 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y y' = 6 x$ durch $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{6 x}{8 y}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{6 x}{8 y}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x}{8 y}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{6 x}{8 y}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x}{8 y}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (3 x)}{8 y}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8 y$ heraus.

$y' = \frac{2 (3 x)}{2 (4 y)}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (3 x)}{2 (4 y)}$

Schritt 5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x}{4 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{4 y}$