Analysis Beispiele

$f (x) = x^{4} + x + 2$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Schritt 1.5

Addiere $4 x^{3} + 1$ und $0$ .

$4 x^{3} + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 4.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 1 + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $4 x^{3} + 1$ und $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} + 1$ .

$4 x^{3} + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} + 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{3} = - 1$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{3} = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{3} = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$

Schritt 5.5

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{1}{4}}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe $- \frac{1}{4}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}$ um.

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Schritt 5.5.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{4}}$

Schritt 5.5.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{4}}$

Schritt 5.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.5.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{1}{4}}$

Schritt 5.5.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ um.

$x = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 5.5.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = - \frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 5.5.6

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Schritt 5.5.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 5.5.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 5.5.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.5.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 5.5.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 5.5.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.5.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.5.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.5.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.5.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.5.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Schritt 5.5.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = - \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 5.5.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.8.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$x = - \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Schritt 5.5.8.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{16}}{4}$

Schritt 5.5.8.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.5.8.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = - \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Schritt 5.5.8.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Schritt 5.5.8.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Schritt 5.5.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.5.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{2}$ heraus.

$x = - \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{4}$

Schritt 5.5.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.5.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ an.

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{2})$

Schritt 9.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ an.

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$12 (1 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$12 \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$12 \frac{\sqrt[3]{2^{2}}}{2^{2}}$

Schritt 9.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{2^{2}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$12 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Schritt 9.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{\sqrt[3]{4}}{4}$

Schritt 9.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \sqrt[3]{4}$

Schritt 10

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Entferne die Klammern.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 11.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})}^{4} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}) - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{2}}^{4}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.2.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ als $\sqrt[3]{2^{4}}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{4}}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.4.2

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{16}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.4.3

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 11.2.2.4.3.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.4.3.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2^{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.5

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $16$ .

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Schritt 11.2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{2}$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 (\sqrt[3]{2})}{16} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{2 \sqrt[3]{2}}{2 \cdot 8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} + 2$

Schritt 11.2.3

Um $- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Schritt 11.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{2}}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Schritt 11.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2}}{8} - \frac{\sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Schritt 11.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{2} \cdot 4}{8} + 2$

Schritt 11.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.6.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2} - 4 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Schritt 11.2.6.1.2

Subtrahiere $4 \sqrt[3]{2}$ von $\sqrt[3]{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = \frac{- 3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Schritt 11.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}) = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Schritt 11.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} + x + 2$ .

$(- \frac{\sqrt[3]{2}}{2}, - \frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} + 2)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13