Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} x \log (x)$

Schritt 1

Schreibe $x \log (x)$ als $\frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \log (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\log (x)$ ohne Schranke ab.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{x}$ gegen unendlich.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 2.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\log (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\log (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- x^{- 2}}$

Schritt 2.3.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x \ln (10)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x \ln (10)} (- x^{2})$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{1}{x \ln (10)}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x \ln (10)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (10)$ heraus.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x (\ln (10))}$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \ln (10)}$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{\ln (10)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\ln (10)}$

Schritt 3.2

Ziehe den Term $\frac{1}{\ln (10)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{\ln (10)} lim_{x \to 0^{+}} x$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$

Schritt 5

Multipliziere $- \frac{1}{\ln (10)} \cdot 0$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 \frac{1}{\ln (10)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{\ln (10)}$ .

$0$