Analysis Beispiele

$e^{x} (1 + e^{- x})$

Schritt 1

Schreibe $e^{x} (1 + e^{- x})$ als Funktion.

$f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int e^{x} (1 + e^{- x}) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} e^{- x} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

Schritt 4.3

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int e^{x} + e^{x - x} d x$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\int e^{x} + e^{0} d x$

Schritt 4.4

Vereinfache $e^{0}$ .

$\int e^{x} + 1 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int e^{x} d x + \int d x$

Schritt 6

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$e^{x} + C + x + C$

Schritt 8

Vereinfache.

$e^{x} + x + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = e^{x} (1 + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + x + C$