Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 1} \ln (- x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to - 1} - x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1.2.3

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 \ln (- lim_{x \to - 1} x)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{2 \ln (1)}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.4.2.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - 1}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.3.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.3.1.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.3.1.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - lim_{x \to - 1} 1}$

Schritt 1.3.1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{0}{e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{0}{e^{3 \cdot - 1 + 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 3 + 3} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \ln (- x)}{e^{3 x + 3} - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (- x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (- x)]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{1}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (\frac{- 1 (- 1)}{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (- \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- 2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $- 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{2}{x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3} - 1]}$

Schritt 3.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x + 3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{3 x + 3}]$ .

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Schritt 3.14.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x + 3$ .

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Schritt 3.14.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \frac{d}{d x} [3 x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.7

Addiere $3$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{e^{3 x + 3} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.14.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x + 3}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3} + 0}$

Schritt 3.16

Addiere $3 e^{3 x + 3}$ und $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{2}{x}}{3 e^{3 x + 3}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $\frac{1}{3 e^{3 x + 3}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{x (3 e^{3 x + 3})}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 1} \frac{1}{x (e^{3 x + 3})}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x (e^{3 x + 3})}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot lim_{x \to - 1} e^{3 x + 3}}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + 3}}$

Schritt 11

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 1$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 1$ annähert.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} x \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 1$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 lim_{x \to - 1} x + 3}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 1$ für $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Kombinieren.

$\frac{2 \cdot 1}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 15.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{2 \cdot (- 1 (- 1))}{3 (- 1 \cdot e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Schritt 15.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3 (e^{3 \cdot - 1 + 3})}$

Schritt 15.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{3 e^{- 3 + 3}}$

Schritt 15.3.2

Addiere $- 3$ und $3$ .

$- \frac{2}{3 e^{0}}$

Schritt 15.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{2}{3}$