Analysis Beispiele

$\int \frac{2 x - x \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{2 x - x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x)}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{2 x - (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + 1}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{1 + 2}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{2 x - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x - x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\int \frac{x \cdot 2 - x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 2 + x (- x^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\int \frac{x (2 - x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\int x (2 - x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 3.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (2 - x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 4.2

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $2$ um.

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 4.3

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $- 1$ um.

$\int 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x$

Schritt 4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1 + 1}{2}} d x$

Schritt 4.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} d x$

Schritt 4.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x^{1} d x$

Schritt 4.9

Vereinfache.

$\int 2 x^{\frac{1}{2}} - x d x$

Schritt 4.10

Stelle $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $- x$ um.

$\int - x + 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int x d x + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} x^{2} + 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$