Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{1 - \sec (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \sec (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec (x)}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sec (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sec (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.4.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.5

Subtrahiere $\sec (x) \tan (x)$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Schritt 1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x) + 0}$

Schritt 1.3.9

Addiere $- \sin (x)$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sec (x) \tan (x)}{- \sin (x)}$

Schritt 1.4

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.5.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.5.2

Mutltipliziere $\tan (0)$ mit $1$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.2.5.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 2.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Schritt 2.1.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.7

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.10

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Schritt 2.3.11

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $\tan^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.7

Ziehe den Exponenten $3$ von $\sec^{3} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Schritt 3.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Schritt 5.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Schritt 5.1.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0 + \sec^{3} (0)}{\cos (0)}$

Schritt 5.1.5

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 + 1^{3}}{\cos (0)}$

Schritt 5.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0 + 1}{\cos (0)}$

Schritt 5.1.7

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{1}{\cos (0)}$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$