Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{x}{5}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{\frac{x}{5}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{\frac{x}{5}} d x$

Schritt 4

Sei $u = \frac{x}{5}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{5} d x$ , folglich $5 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \frac{x}{5}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{5}$ zu dividieren.

$\int \sqrt{u} (1 \cdot 5) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\int \sqrt{u} \cdot 5 d u$

Schritt 5.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int 5 \sqrt{u} d u$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \sqrt{u} d u$

Schritt 7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{5}$ .

$\frac{10}{3} {(\frac{x}{5})}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{\frac{x}{5}}$ .

$F (x) =$ $\frac{10}{3} {(\frac{1}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$