Analysis Beispiele

$\int \frac{r}{\sqrt{r^{2} - x^{2}}} d r$

Schritt 1

Sei $u = r^{2} - x^{2}$ . Dann ist $d u = 2 r d r$ , folglich $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = r^{2} - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d r}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $r^{2} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2} - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $r^{2} - x^{2}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 r + \frac{d}{d r} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$2 r + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $2 r$ und $0$ .

$2 r$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 4.2

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $u^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $r^{2} - x^{2}$ .

${(r^{2} - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$