Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} {(x - x^{2})}^{3} (1 - 2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = x - x^{2}$ . Dann ist $d u = (1 - 2 x) d x$ , folglich $\frac{1}{1 - 2 x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 2 x$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$- 2 x + 1$

Schritt 1.1.5

Ordne Terme um.

$1 - 2 x$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - x^{2}$ ein.

$u_{lower} = 0 - 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - x^{2}$ ein.

$u_{upper} = 2 - 2^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$u_{upper} = 2 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$u_{upper} = 2 - 4$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{- 2} u^{3} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{- 2}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{1}{4} u^{4}$ bei $- 2$ und $0$ .

$(\frac{1}{4} {(- 2)}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $16$ .

$\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 3.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

Schritt 3.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 - \frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$4 + 0 (\frac{1}{4})$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{4}$ .

$4 + 0$

Schritt 3.2.7

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 4