Analysis Beispiele

$\int \frac{x^{2} - 3 x - 5}{x} d x$

Schritt 1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 3 x}{x} + \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x}{1} d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3.1.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\int x d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x d x + \int \frac{- 3 x}{x} d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{- 5}{x} d x$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int - \frac{5}{x} d x$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int - \frac{5}{x} d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - \int \frac{5}{x} d x$

Schritt 8

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - 5 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 10

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C - 5 (\ln (| x |) + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x - 5 \ln (| x |) + C$