Analysis Beispiele

$2 y^{3} - x^{2} + 2 y = - 4 y^{2} - x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} - x^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 4 y^{2} - x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{3} - x^{2} + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 y^{2} y' - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 y^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 8 y y' - (3 x^{2})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 8 y y' - 3 x^{2}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} - 8 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' = - 3 x^{2} - 8 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $8 y y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{2} y' - 2 x + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $6 y^{2} y' + 2 y' + 8 y y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $6 y^{2} y'$ heraus.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y'$ heraus.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 8 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $8 y y'$ heraus.

$2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1 + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (3 y^{2}) + 2 y' \cdot 1$ heraus.

$2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (3 y^{2} + 1) + 2 y' (4 y)$ heraus.

$2 y' (3 y^{2} + 1 + 4 y) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.4.1.1

Stelle die Terme um.

$2 y' (3 y^{2} + 4 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 5.4.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 y$ heraus.

$2 y' (3 y^{2} + 4 (y) + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.1.2.2

Schreibe $4$ um als $1$ plus $3$

$2 y' (3 y^{2} + (1 + 3) y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y' (3 y^{2} + 1 y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.1.2.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y' (3 y^{2} + y + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.4.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 y' ((3 y^{2} + y) + 3 y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 y' (y (3 y + 1) + 1 (3 y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y + 1$ .

$2 y' ((3 y + 1) (y + 1)) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ durch $2 (3 y + 1) (y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (3 y + 1) (y + 1) = - 3 x^{2} + 2 x$ durch $2 (3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (3 y + 1) (y + 1)}{2 (3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y + 1$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y + 1) (y + 1)}{(3 y + 1) (y + 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{2 x}{2 (3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 (3 y + 1) (y + 1)} + \frac{x}{(3 y + 1) (y + 1)}$