Analysis Beispiele

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - 2 x - x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} 3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{3 - lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 - 2 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{3 - 2 \cdot 1 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1^{2}}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3 - 2 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 - 2 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} - 4 + 3 x + x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{0}{- lim_{x \to 1} 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{0}{- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} x^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{- 4 + 3 lim_{x \to 1} x + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 \cdot 1 + 1^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0}{- 4 + 3 + 1}$

Schritt 1.1.3.6.2

Addiere $- 4$ und $3$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Schritt 1.1.3.6.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.6.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 1} \frac{3 - 2 x - x^{2}}{- 4 + 3 x + x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3 - 2 x - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 2 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.3.6.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.6.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4 + 3 x + x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 + 3 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.9.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{0 + 3 + 2 x}$

Schritt 1.3.11

Vereinfache.

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Schritt 1.3.11.1

Addiere $0$ und $3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{3 + 2 x}$

Schritt 1.3.11.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 1} \frac{- 2 x - 2}{2 x + 3}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 1} - 2 x - 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Schritt 2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + 3}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $1$ annähert.

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 3}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 3}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $1$ annähert.

$\frac{- 2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $1$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 1} x + 3}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $1$ für $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 - 2}{2 \cdot 1 + 3}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$\frac{- 4}{2 \cdot 1 + 3}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- 4}{2 + 3}$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{- 4}{5}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{4}{5}$

Dezimalform:

$- 0.8$