Analysis Beispiele

$\sqrt{| x |}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{| x |}$ als ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{| x |}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$\frac{1}{2} {| x |}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {| x |}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {| x |}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {| x |}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {| x |}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {| x |}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {| x |}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${| x |}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| x |}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 7.3

Bringe ${| x |}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {| x |}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [| x |]$

Schritt 8

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{1}{2 {| x |}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{| x |}$

Schritt 9

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {| x |}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{2 {| x |}^{\frac{1}{2}} | x |}$

Schritt 10

Potenziere $| x |$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 ({| x |}^{1} {| x |}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x}{2 {| x |}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2 {| x |}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2 {| x |}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 14

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x}{2 {| x |}^{\frac{3}{2}}}$