Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{5} - x^{3} + 4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{5}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$15 x^{4} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ und $0$ .

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15 x^{4} - 3 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{4}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $60 x^{3} - 6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 6 x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$15 x^{4} - 3 x^{2} + 4 = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6