Analysis Beispiele

$6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$6 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$6 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x} d x) + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 11

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 e^{x} d x$

Schritt 12

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int e^{x} d x$

Schritt 13

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$6 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (\ln (| x |) + C) + 3 (e^{x} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache.

$\frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{2} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

Schritt 14.2

Stelle die Terme um.

$\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 6 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x} + 3 e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} - 2 \ln (| x |) + 3 e^{x} + C$