Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2}{x - 3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2] - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 9.3

Bringe ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 12

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 14

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0) - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 15

Addiere $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 18

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 19

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 19.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 3) \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - - 2}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1

Es sei $u_{2} = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4 u_{2} + 3}{2 u_{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{2 {(x + 1)}^{1} - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3.2

Vereinfache.

$\frac{- \frac{2 (x + 1) - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- \frac{2 x + 2 \cdot 1 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{2 x + 2 - x - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3.5

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{- \frac{x + 2 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.2.3.6

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.3.1

Schreibe $\frac{- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x - 3)}^{2}}$ als ein Produkt um.

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 20.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ mit $\frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 20.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 3)}^{2}$ .

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 20.4

Stelle die Faktoren in $- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 3)}^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ um.

$- \frac{x + 5 - 4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{2}}$