Analysis Beispiele

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.4

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.7

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - lim_{h \to 0} \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.1.8

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{x^{3} + 2}$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{x^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $\sqrt{x^{3} + 2}$ von $\sqrt{x^{3} + 2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2} - \sqrt{x^{3} + 2}$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d h} [\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ als ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ und $g (h) = {(x + h)}^{3} + 2$ .

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Schritt 1.3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x + h)}^{3} + 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x + h)}^{3} + 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3} + 2] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + h)}^{3} + 2$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{3}] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ ist $f' (g (h)) g' (h)$ , mit $f (h) = h^{3}$ und $g (h) = x + h$ .

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Schritt 1.3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + h$ nach $h$ $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.6

Da $x$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [2]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.8

Da $2$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.12.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} (0 + 1) + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.14

Addiere $0$ und $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.15

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2} + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.16

Addiere $3 {(x + h)}^{2}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.17

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (3 {(x + h)}^{2}) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.18

Kombiniere $3$ und $\frac{{({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} {(x + h)}^{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.19

Kombiniere $\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und ${(x + h)}^{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x + h)}^{2}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.3.20

Bringe ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{x^{3} + 2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.4

Da $- \sqrt{x^{3} + 2}$ konstant bezüglich $h$ ist, ist die Ableitung von $- \sqrt{x^{3} + 2}$ bezüglich $h$ gleich $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ gleich $n h^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 {({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 1.5

Schreibe ${({(x + h)}^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}$ um.

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}} \cdot 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$ mit $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{3 {(x + h)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $\frac{3}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $h$ ist.

$\frac{3}{2} lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2}}{\sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + h)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{lim_{h \to 0} \sqrt{{(x + h)}^{3} + 2}}$

Schritt 2.6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + 2}}$

Schritt 2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Exponenten $3$ von ${(x + h)}^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Schritt 2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Schritt 2.10

Berechne den Grenzwert von $x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} 2}}$

Schritt 2.11

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $h$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{3} + 2}}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{\sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{3 {(x + 0)}^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Schritt 4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{{(x + 0)}^{3} + 2}}$

Schritt 4.3

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{3} + 2}}{\sqrt{x^{3} + 2}}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 \sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2}}$

Schritt 4.5.2

Bewege $\sqrt{x^{3} + 2}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (\sqrt{x^{3} + 2} \sqrt{x^{3} + 2})}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{x^{3} + 2}$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} \sqrt{x^{3} + 2})}$

Schritt 4.5.4

Potenziere $\sqrt{x^{3} + 2}$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 ({\sqrt{x^{3} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1})}$

Schritt 4.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}}$

Schritt 4.5.7

Schreibe ${\sqrt{x^{3} + 2}}^{2}$ als $x^{3} + 2$ um.

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Schritt 4.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3} + 2}$ als ${(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {({(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 {(x^{3} + 2)}^{1}}$

Schritt 4.5.7.5

Vereinfache.

$\frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2 (x^{3} + 2)}$