Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.3

Bringe ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12.3

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 17

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 18

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 19

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 20

Kombinieren.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 21

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 22

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 22.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 22.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 23.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 23.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 24

Vereinfache ${(x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 25

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 26.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + (x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 26.3

Schreibe $- 1 (x^{2} + 1)$ als $- (x^{2} + 1)$ um.

$\frac{x^{2} - (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 27

Vereinfache.

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Schritt 27.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 27.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 27.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 27.2.2

Subtrahiere $1 \cdot 1$ von $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 27.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 27.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 27.4

Stelle die Faktoren in $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ um.

$- \frac{1}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$