Analysis Beispiele

${(1 + e^{x})}^{2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 + e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + e^{x}$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (1 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (1 + e^{x}) e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 \cdot 1 + 2 e^{x}) e^{x}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 e^{x} + 2 e^{x} e^{x}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $e^{x}$ mit $e^{x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{x} e^{x})$

Schritt 4.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 e^{x} + 2 e^{x + x}$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $x$ und $x$ .

$2 e^{x} + 2 e^{2 x}$