Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{6} x^{- 3} - \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{- 3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6} x^{- 3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$\frac{1}{6} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 3}{6} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{- 3}{6}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.5

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

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Schritt 1.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{6 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{4}$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{6} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{1}{6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - 3 (\frac{1}{6}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3}{6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{- 3}{6}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- 3 x^{2}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (2)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2 x^{4}} + \frac{- x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$

Schritt 1.4

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2} + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$ und $0$ .

$- \frac{1}{2 x^{4}} - \frac{x^{2}}{2}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$- x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 x^{4}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2 x^{4}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- x - \frac{1}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- x - \frac{1}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$- x - \frac{1}{2} (- 4 x^{- 5})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- x + 4 (\frac{1}{2}) x^{- 5}$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- x + \frac{4}{2} x^{- 5}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\frac{4}{2}$ und $x^{- 5}$ .

$- x + \frac{4 x^{- 5}}{2}$

Schritt 2.3.11

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x + \frac{4}{2 x^{5}}$

Schritt 2.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Schritt 2.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.12.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 (x^{5})}$

Schritt 2.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- x + \frac{2 \cdot 2}{2 x^{5}}$

Schritt 2.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - x + \frac{2}{x^{5}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x + \frac{2}{x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{5}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 1 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 1 + 2 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 2 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$- 1 + 2 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 3.3.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 1 + 2 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 1 + 2 (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 3.3.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$- 1 + 2 (- 5 x^{- 6})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$- 1 - 10 x^{- 6}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 - 10 \frac{1}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{x^{6}}$ .

$- 1 + \frac{- 10}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 1 - \frac{10}{x^{6}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = - \frac{10}{x^{6}} - 1$