Analysis Beispiele

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{3} (x)} d x$

Schritt 4

Wandle von $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ nach $\sec^{3} (x)$ um.

$\int \sec^{3} (x) d x$

Schritt 5

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{3} (x)$ heraus.

$\int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Schritt 6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (x)$ und $d v = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Schritt 7

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Schritt 8

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Schritt 9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Schritt 10.2

Stelle $\tan^{2} (x)$ und $\sec (x)$ um.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Schritt 11

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Schritt 12

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 12.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Schritt 12.3

Stelle $\sec (x)$ und $- 1$ um.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Schritt 13

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Schritt 14

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Schritt 15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Schritt 16

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Schritt 17

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Schritt 18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Schritt 19

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Schritt 20

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Schritt 21

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Schritt 22

Das Integral von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Schritt 23

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Schritt 23.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Schritt 24

Wenn nach $\int \sec^{3} (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Schritt 25

Mutltipliziere $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Schritt 26

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

Schritt 27

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$