Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{20} x^{- 4} + x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{20} x^{- 4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{3}{20}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{20} x^{- 4}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$\frac{3}{20} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 12}{20} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{- 12}{20}$ und $x^{- 5}$ .

$\frac{- 12 x^{- 5}}{20} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.6

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 12}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $20$ .

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Schritt 1.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$\frac{4 (- 3)}{20 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20 x^{5}$ heraus.

$\frac{4 (- 3)}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 (5 x^{5})} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.4.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{3}{5 x^{5}} + 5 x^{4} + x^{2} + 2 x$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + x^{2} + 2 x - \frac{3}{5 x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5 x^{5}}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $- \frac{3}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{5 x^{5}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.5.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.5.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.5.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.5.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 2.5.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 2.5.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 2.5.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 - \frac{3}{5} (- 5 x^{- 6})$

Schritt 2.5.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + 5 (\frac{3}{5}) x^{- 6}$

Schritt 2.5.9

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{5}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.5.10

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.5.11

Kombiniere $\frac{15}{5}$ und $x^{- 6}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15 x^{- 6}}{5}$

Schritt 2.5.12

Bringe $x^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{15}{5 x^{6}}$

Schritt 2.5.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $5$ .

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Schritt 2.5.13.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Schritt 2.5.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.13.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{6}$ heraus.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 (x^{6})}$

Schritt 2.5.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{5 \cdot 3}{5 x^{6}}$

Schritt 2.5.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$20 x^{3} + 2 x + 2 + \frac{3}{x^{6}}$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$ .

$20 x^{3} + 2 x + \frac{3}{x^{6}} + 2$