Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 3} \ln (4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{3 \ln (lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{3 \ln (4 - lim_{x \to 3} x)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3 \ln (4 - 3)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{3 \ln (1)}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2.5.2.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{3 \ln (4 - x)}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 \ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \ln (4 - x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [\ln (4 - x)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 4 - x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (\frac{1}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{4 - x}$ und $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{4 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{3}{4 - x}$ und $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 \cdot - 1}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{- 3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 3.16

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1 + 0}$

Schritt 3.17

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- \frac{3}{4 - x}}{1}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x} \cdot 1$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} - \frac{3}{4 - x}$

Schritt 6

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 3} \frac{3}{4 - x}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 3 lim_{x \to 3} \frac{1}{4 - x}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- 3 \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - x}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- 3 \frac{1}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$- 3 \frac{1}{4 - lim_{x \to 3} x}$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$- 3 \frac{1}{4 - 3}$

Schritt 12.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.2.1

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$- 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 12.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 (\frac{1}{1})$

Schritt 12.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \cdot 1$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$