Analysis Beispiele

$y = \ln (x + y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x + y))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\frac{1}{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{x + y} (1 + y')$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{x + y} (1 + y')$ um.

$(1 + y') \frac{1}{x + y}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $1 + y'$ mit $\frac{1}{x + y}$ .

$\frac{1 + y'}{x + y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1 + y'}{x + y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $x + y$ .

$y' (x + y) = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $\frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' x + y' y = \frac{1 + y'}{x + y} (x + y)$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' x + y' y = 1 + y'$

Schritt 5.2.2.1.2

Stelle $1$ und $y'$ um.

$y' x + y' y = y' + 1$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' x + y' y - y' = 1$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' y - y'$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' x$ heraus.

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' y$ heraus.

$y' (x) + y' (y) - y' = 1$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (x) + y' (y) + y' \cdot - 1 = 1$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x) + y' (y)$ heraus.

$y' (x + y) + y' \cdot - 1 = 1$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x + y) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (x + y - 1) = 1$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + y - 1) = 1$ durch $x + y - 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + y - 1) = 1$ durch $x + y - 1$ .

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + y - 1)}{x + y - 1} = \frac{1}{x + y - 1}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{x + y - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + y - 1}$