Analysis Beispiele

$D_{x} (3^{3 x^{2}})$

Schritt 1

Da $D_{x}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $D_{x} \cdot 3^{3 x^{2}}$ nach $x$ gleich $D_{x} \frac{d}{d x} [3^{3 x^{2}}]$ .

$D_{x} \frac{d}{d x} [3^{3 x^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 3^{x}$ und $g (x) = 3 x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{2}$ .

$D_{x} (\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$D_{x} (3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2}$ .

$D_{x} (3^{3 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$D_{x} \cdot 3^{3 x^{2}} \ln (3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Potenziere $3$ mit $1$ .

$D_{x} \cdot (3^{1} \cdot 3^{3 x^{2}}) \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) (2 x)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Stelle die Faktoren von $D_{x} \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3) (2 x)$ um.

$2 \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} D_{x} x \ln (3)$

Schritt 7.2

Stelle die Faktoren in $2 \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} D_{x} x \ln (3)$ um.

$2 D_{x} x \cdot 3^{1 + 3 x^{2}} \ln (3)$