Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} e^{1 - 2 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - 2 x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 2 \cdot 0$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - 2 x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 2 \cdot 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{- 1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{- 1} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{- 1} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{- 1} e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{- 1}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 1$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 1}) - e^{1})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} (e^{- 1} - e)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{e} - e)$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{2} (- e)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} - \frac{1}{2} (- e)$

Schritt 7.4

Multipliziere $- \frac{1}{2} (- e)$ .

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{1}{2} e$

Schritt 7.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2} + \frac{e}{2}$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e$ .

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{2 e} + \frac{e}{2}$

Dezimalform:

$1.17520119 \dots$

Schritt 9